Динамика на хармонично трептене

Страницата е създадена на: 4 ноември 2016 и редактирана на: 4 ноември 2016

Да сравним закона за движението при хармонично трептене:

$y=A\mathit{cos}({\mathrm{\varphi }}_0+\mathrm{\omega }t)$

и закона за ускорението:

$a=-{\mathrm{\omega }}^{2}A\mathit{sin}({\mathrm{\varphi }}_0+\mathrm{\omega }t)$.

Вижда се, че ускорението $a$ е свързано с отклонението $y$ по формулата:

$a=-{\mathrm{\omega }}^{2}y$.

Сега да заместим ускорението във втория принцип да динамиката:

$F=\mathit{ma}=-m{\mathrm{\omega }}^{2}y=-\mathit{ky}$.

При последното преобразувание въвеждаме ново означение $m{\mathrm{\omega }}^2=k$ за произведението от масата $m$ и квадрата на ъгловата скорост $\mathrm{\omega }$, което произведение играе роля на положителен коефициент на пропорционалност $k$ между силата $F$ и отклонението $y$.

Така виждаме, че силата, която действа върху материална точка, извършваща хармонично трептене е пропорционална на отклонението от равновесното положение и има посока противоположна (поради знака минус) на това отклонение:

$F=-\mathit{ky}$.

Сила, действаща по този начин се нарича квазиеластична сила. Това е сила, която при всяко отклонение от равновесното положение действа така, че да върне материалната точка в положението на равновесие. Следователно, имаме положение на устойчиво равновесие и хармоничното трептене е движение около положение на устойчиво равновесие, т.е. представлява трептене.

Квазиеластичната сила е консервативна сила и материална точка, намираща се в полето на квазиеластична сила има потенциална енергия:

$E_p=\frac{k{y}^2}{2}$.

Кинетичната енергия на една материална точка, която извършва хармонично трептене е:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}=\frac{m{[\mathrm{\omega }A\mathit{cos}({\mathrm{\varphi }}_0+\mathrm{\omega }t)]}^2}{2}=\frac{m{\mathrm{\omega }}^2{A}^2}{2}{\mathit{cos}}^2({\mathrm{\varphi }}_0+\mathrm{\omega }t)$.

а потенциалната:

$E_p=\frac{k{y}^2}{2}=\frac{m{{\mathrm{\omega }}^2[A\mathit{sin}({\mathrm{\varphi }}_0+\mathrm{\omega }t)]}^2}{2}=\frac{m{\mathrm{\omega }}^2{A}^2}{2}{\mathit{sin}}^2({\mathrm{\varphi }}_0+\mathrm{\omega }t)$.

Като съберем кинетичната и потенциалната енергия получаваме, че пълната механична енергия е:

$E=\frac{m{\mathrm{\omega }}^2{A}^2}{2}$,

защото ${\mathit{cos}}^2({\mathrm{\varphi }}_0+\mathrm{\omega }t)+{\mathit{sin}}^2({\mathrm{\varphi }}_0+\mathrm{\omega }t)=1$. Вижда се, че в получената формула за пълната механична енергия при хармонично трептене, участват само постоянни величини и следователно тя е постоянна величина. По този начин се убеждаваме, че при хармонично трептене е в сила закона за запазване на енергията.

 

Предишна страница: Кинематика на хармонично трептене

Следваща страница: Уравнение на трептяща система