Инварианти на тензор

Страницата е създадена на:13 септември 2019 и редактирана на:24 септември 2019

Инвариантите на един тензор са скаларни величини, функции на компонентите на тензора, които не се променят при смяна на координатната система.

За да намерим някои инварианти на тензор да изходим от неговото характеристично уравнение (352.2). Параметърът `lambda` в това уравнение е скалар, затова са скалари и неговите коефициенти, явният вид на които е:

`I_2 = P_(11)+P_(22)+P_(33) =` `P_(ii)`

`I_1 = | (P_(22),P_(23)), (P_(32),P_(33)) | +` `| (P_(12),P_(13)), (P_(31),P_(33)) | +` `| (P_(11),P_(12)), (P_(21),P_(22)) |`

`I_0 = | (P_(11),P_(12),P_(13)), (P_(21),P_(22),P_(33)),(P_(31),P_(32),P_(33))|`

Сумата на диагоналните компоненти на тензор `P_(ii)` се нарича следа или шпур на тензора.

Ако `lambda_1`, `lambda_2` и `lambda_3` са решенията на характеристичното уравнение, то имаме:

`(lambda - lambda_1)(lambda - lambda_2)(lambda - lambda_3) = 0`

и след разкриване на скобите и преобразуване на това равенство до общия вид на характеристичното уравнение, след сравняване на коефициентите се получават известните формули на Виет:

`I_2 = lambda_1 + lambda_2 + lambda_3`

`I_1 = lambda_1 lambda_2 + lambda_2 lambda_3 + lambda_3 lambda_1`

`I_0 = lambda_1 lambda_2 lambda_3`

които в случая ни дават връзка между коментираните инварианти на тензора и главните му компоненти.

Тензор със следа нула се нарича девиатор.

Компонентите `P_(ij)` на всеки тензор може да представим във вид на сума от две събираеми:

`P_(ij) = (P_(ij) - 1/3 P_(kk) delta_(ij)) + (1/3 P_(kk) delta_(ij))`

където първото събираемо:

`P_(ij) - 1/3 P_(kk) delta_(ij)`

са компоненти на девиатор, а второто събираемо:

`1/3 P_(kk) delta_(ij)`

са компоненти на сферичен тензор. Следователно: Всеки тензор може да се представи като сума от девиатор и сферичен тензор.

Предишна страница: Главни оси и компоненти на тензор от втори ранг

Следваща страница: Тензорна повърхнина