Комплексни числа

Страницата е създадена на: 3 ноември 2016 и редактирана на:11 юни 2020

Както е известно уравнението: $i^{2} = - 1$ няма решение в множеството на реалните числа. В математиката все пак се допуска, че това уравнение има решение, което представлява число, наречено имагинерна единица. Продължавайки с още допускания в тази посока се приема, че имагинерната единица $i$ може да участва в аритметични действия: събиране, изваждане, умножение и деление заедно с реалните числа и тези действия се подчиняват на същите правила, както действията само с реални числа. Произведенията $iy$ на различни от нула реални числа $y$ с имагинерната единица $i$ се наричат имагинерни числа, а сумите:

$z = x + iy$ ,

в които $x$ и $y$ са произволни реални числа, а $i$ - имагинерната единица, се наричат комплексни числа. Реалното число $x$ се нарича реална част на комплексното число $z$ , а $y$ - имагинерна част. Множеството на комплексните числа представлява разширение на множеството на реалните числа, защото включва реалните числа като свое подмножество. Реалните числа са комплексни числа с имагинерна част 0. На практика действия събиране, изваждане, умножение и деление с комплексни числа се извършват по същите правила, както действията с реални числа и само, където е необходимо се прилага свойството на имагинерната единица $i^{2} = - 1$ .

Например, сумата на две коплексни числа `x_1 + i y_1` и `x_2 + i y_2` съставяме така:

`x_1 + i y_1 + x_2 + i y_2 = x_1 + x_2 + i(y_1 + y_2)`.

Произведението им:

`(x_1 + i y_1)(x_2 + i y_2) = x_1 x_2 + i x_1 y_2 + i x_2 y_1 + i^2 y_1 y_2 = x_1 x_2 - y_1 y_2 + i(x_1 y_2 + x_2 y_1)`.

Частното:

`(x_1 + i y_1)/(x_2 + i y_2) = ((x_1 + i y_1)(x_2 - i y_2))/((x_2 + i y_2)(x_2 - i y_2)) = (x_1 x_2 + y_1 y_2 + i (y_1 x_2 - x_1 y_2))/(x_2^2 + y_2^2) = (x_1 x_2 + y_1 y_2)/(x_2^2 + y_2^2) + i (y_1 x_2 - x_1 y_2)/(x_2^2 + y_2^2)`.

Ако приемем, че реалните и имагинерните части на комплексните числа са декартови координати на точки в равнината, то на всяко комплексно число съответства точно една точка в равнината и обратно - всяка точка в равнината съответства на едно единствено комплексно число. Следователно, докато реалните числа се изобразяват като точки върху ос, комплексните числа могат да се изобразяват с точки в равнина, която наричаме комплексна равнина. Две комплексни числа $z_{1} = x_{1} + i y_{1}$ и $z_{2} = x_{2} + i y_{2}$ са равни, ако са равни както техните реални части: $x_{1} = x_{2}$ , така и имагинерните им части: $y_{1} = y_{2}$ . Две равни комплексни числа се изобразяват с една и съща точка в комплексната равнина.

Ако за определяне положението на точките в равнината, съответстващи на комплексни числа, използваме полярни координати $ρ$ и $ϕ$ вместо декартови координати $x = ρ \cos ϕ$ и $y = ρ \sin ϕ$ , то комплексното число $z$ , съответстващо на дадена точка, можем да представим в тригонометричен вид:

(91.1)

z = ρ (\cos ϕ + i \sin ϕ)

В тригонометричното представяне: $ρ = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ се нарича модул на комплексното число, а: $ϕ = arctg \frac{y}{x}$ - аргумент на комплексното число. Аргументът $ϕ$ на едно комплексно число не е еднозначно определен, защото поради периодичността на трегонометричните функции промяната на аргумента с цяло число $2 π$ , не променя нито реалната нито имагинерната част на комплексното число.

В теорията на комплексните числа е доказана следната формула на Ойлер:

(91.2)

\cos ϕ + i \sin ϕ = e^{i ϕ}

Един начин за извеждане на тази формула, може да намерите в статия Формула на Ойлер, в bg.wikipedia.

Ако вземем предвид, че косинусът е четна, а синусът е нечетна функция, т.е.: $\cos (- ϕ) = \cos ϕ$ и $\sin (- ϕ) = - \sin ϕ$ , може да заменим $ϕ$ с $- ϕ$ и да получим и друга формула на Ойлер:

(91.3)

`cos ϕ - i sin ϕ = e^(-i ϕ)`

Сега ако веднъж съберем двете формули, а после ги извадим получаваме още две формули на Ойлер:

(91.4)

`cos ϕ = (e^(i ϕ) + e^(-i ϕ))/2`

(91.5)

`sin ϕ = (e^(i ϕ) - e^(-i ϕ))/(2i)`

В тригонометричното представяне (91.1) на едно комплексно число може да заменим тригонометричните функции с експонента по формулата на Ойлер (91.2) и да получим следното представяне на комплексното число:

(91.6)

`z = ρ e^(i ϕ)`

Комплексното число:

$z^{*} = x - iy$

се нарича имагинерно спрегнато на комплексното число $z = x + iy$ . Очевидно тригонометричният вид на имагинерно спрегнатото число е:

$z^{*} = ρ (\sin ϕ - i \sin ϕ)$ ,

а ако заместим тригонометричните функции с експонента по формулата на Ойлер (91.3), получаваме тригонометричния вид на имагинерно спрегнатото число:

(91.7)

z^{*} = ρ e^{- i ϕ}

От (91.6) и (91.7) следва:

${z z}^{*} = ρ^{2}$ .

Когато имагинерно спрегнатото $z^{*}$ на едно комплексно число $z$ е равно на самото число, т.е. $z = z^{*}$ , имагинерната част `y` следва да удовлетворява уравнението: $y = - y$ , което има единствено решение: $y = 0$ . Удовлетворяването на уравнението: $z = z^{*}$ е необходимо и достатъчно условие комплексното число $z$ да е реално число.

Предишна страница: Оператори и функционали

Следваща страница: Записки по физика

Мнения за тази страница

Все още няма мнения.

Напишете своето мнение.