Полярни координати

Страницата е създадена на: 2 ноември 2016 и редактирана на:19 август 2019

Освен чрез декартови координати положението на една точка в равнината може да се определи еднозначно и с други величини, които общо наричаме криволинейни координати на точката. (Наричат се така, защото множествата от точки, които се различават по стойността само на една от тези величини, представляват в общия случай криви линии).

Един от възможните видове криволинейни координати са полярните координати. Полярни координати са: разстоянието от дадена точка до началото на координатната система $\mathrm{\rho }$ и ъгълът $\mathrm{\varphi }$, отчитан в посока обратна на часовниковата стрелка, между положителната посока на абсцисната ос и радиус-вектора на точката.

Множествата от точки с еднакви поляни ъгли `ϕ` и различни стойности на `ρ` представляват лъчи, излизащи от началото на координатната система, а множествата от точки с еднакви стойности на `ρ` и различни ъгли `ϕ` са концентрични окръжности с центрове в началото на координатната система.

Ако са известни полярните координати $\mathrm{\rho }$ и $\mathrm{\varphi }$ на една точка в равнината, нейните декартови координати са:

$x=\mathrm{\rho }\mathit{cos}\mathrm{\varphi }$    и    $y=\mathrm{\rho }\mathit{sin}\mathrm{\varphi }$.

Ако от една страна повдигнем на квадрат и съберем тези равенства, а от друга - разделим второто на първото, получаваме:

$x^2+y^2={\mathrm{\rho }}^2{\mathit{cos}}^2\mathrm{\varphi }+{\mathrm{\rho }}^2{\mathit{sin}}^2\mathrm{\varphi }={\mathrm{\rho }}^2({\mathit{cos}}^2\mathrm{\varphi }+{\mathit{sin}}^2\mathrm{\varphi })={\mathrm{\rho }}^2$    и    $\frac{y}{x}=\frac{\mathit{sin}\mathrm{\varphi }}{\mathit{cos}\mathrm{\varphi }}=\mathit{tg}\mathrm{\varphi }$.

От тези две равенства следоват формулите, по които бихме могли да намерим полярните координати $\mathrm{\rho }$ и $\mathrm{\varphi }$, когато са известни декартовите координати $x$ и $y$:

$\mathrm{\rho }=\sqrt{x^2+y^2}$    и    $\mathrm{\varphi }=\mathit{arctg}\frac{y}{x}$.

Полученият по втората формула ъгъл $\mathrm{\varphi }$ има правилна стойност само когато точката е в първи квадрант ($x>0$ и $y>0$). Ако точката е във втори ($x<0$ и $y>0$) или трети ($x<0$ и $y<0$) квадрант, към получената стойност трябва да се прибави $\mathrm{\pi }$, а ако е в четвърти квадрант ($x>0$ и $y<0$) към получената стойност трябва да се прибави $2\mathrm{\pi }$.

Някои от обичайните приложения на полярните координати е при изучаване на движението по окръжност, за представяне на комплексни числа и др.

Предишна страница: Координатни оси и декартови координати

Следваща страница: Вектори