Вектори

Страницата е създадена на: 3 ноември 2016 и редактирана на: 7 март 2024

Всеки две точки в пространството, взети в определен ред (т.е. едната точка се приема за първа, а другата за втора), задават една насочена отсечка. С други думи, насочена отсечка е отсечка върху, която е определена посока, т.е. единия край на такава отсечка (първата точка) се приема за начало, а другия край (втората точка) - за връх. Насочена осечка, на която точката `A` се явява начало, а точката `B` - връх, ще означаваме с: `vec (AB)`.

Две насочени отсечки се приемат за равни, когато имат равни дължини, лежат върху успоредни прави и имат еднакви посоки.

Множеството от всички насочени отсечки, равни на дадена насочена отсечка се нарича вектор. Насочените отсечки, от които се състои един вектор се наричат представители на вектора. За да бъде зададен напълно един вектор е достатъчно да е зададен един негов представител.

Големина или модул `a` на вектор `vec a` се нарича дължината на кой да е негов представител. Големината е положително число или нула.

Вектор с големина нула се нарича нулев вектор. Нулевият вектор има за представители нулевите насочени отсечки, на които върхът и началото съвпадат.

Всеки вектор, с изключение на нулевия вектор, задава в пространството и определена посока. Затова векторите се използват за представяне на физични величини, които освен големина имат и определена посока. Физичните величини, които се представят с вектори се наричат векторни величини.

Ако в пространството е зададена декартова координатна система, между токчите в пространството и векторите може да се установи взаимно еднозначно съответствие. На всяка точка $M$ съответства вектор $\overrightarrow{r}$, чието начало е в началото на координатната система, а върхът съвпада с дадената точка. Този вектор се нарича радиус-вектор на дадената точка. Обратно, ако е даден произволен вектор $\overrightarrow{a}$, то винаги може да се построи представител на този вектор с начало в началото на координатната система. Върхът на построения представител е точка $M$, която съответства на дадения вектор. Така всяка точка има единствен радиус-вектор и обратно, всеки вектор се явява радиус-вектор на една единсвена точка.

Всяка точка $M$ в пространството, спрямо една декартова координатна система има три координати $x$, $y$ и $z$. Поради посоченото взаимно еднозначно съответствие между точките и векторите, то на всеки вектор $\overrightarrow{a}$ също се съпоставят декартови координати $a_x$, $a_y$ и $a_z$. Координатите на вектора съвпадат с координатите на точката, на която дадения вектор се явява радиус-вектор. Означаваме:

$\overrightarrow{a}(a_x,a_y,a_z)$.

Големината на един вектор се изразява чрез неговите декартови координати по формулата:

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$

Понякога е удобно на всяка от осите `Ox`, `Oy` и `Oz` на пространствената декартова координатна система да се съпоставят вектори `vec{e}_x`, `vec{e}_y` и `vec{e}_z`, с посоки положителните посоки на осите и големини равни на единица. Тези вектори наричаме единични вектори, базисни вектори или просто базис на координатната система.

Предишна страница: Полярни координати

Следваща страница: Действия с вектори