Действия с вектори

Страницата е създадена на: 3 ноември 2016 и редактирана на: 7 март 2024

Събиране на вектори

Сума на два вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ наричаме нов вектор, който означаваме с $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$, и който може да се получи по два начина: по правилото на триъгълника или по правилото на успоредника.

При правилото на триъгълника построяваме представител $\overrightarrow{\mathit{AB}}$ на вектора $\overrightarrow{a}$ и представител $\overrightarrow{\mathit{BC}}$ на вектора $\overrightarrow{b}$, така че върхът $B$ на представителя на първия вектор да бъде начало на представителя на втория вектор. Тогава насочената отсечка $\overrightarrow{\mathit{AC}}$, която съединява началото на $\overrightarrow{\mathit{AB}}$ с върха на $\overrightarrow{\mathit{BC}}$ е представител на сумата на векторите $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

При правилото на успоредника се построяват представители $\overrightarrow{\mathit{AB}}$ и $\overrightarrow{\mathit{AD}}$ на двата вектора с общо начало. После се построява успоредник $\mathit{ABCD}$, който има за страни тези отсечки. Насочената отсечка $\overrightarrow{\mathit{AC}}$, представляваща диагонал на построения успоредник е представител на сумата на векторите $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

Разбира се, двете правила за построяване на сумата на два вектора са равносилни и водят до един и същи резултат. Кое от правилата ще се използва се избира според случая от съображения за удобство.

За събиране на повече от две вектора се построява представител на всеки следващ вектор с начало във върха на представителя на последния добавен вектор. Сумата от всички вектори има за представител насочената отсечка от началото на първия до върха на последния вектор. Това обобщение на правилото на триъгълника се нарича правило на многоъгълника и намира приложение в статиката при събиране на сили.

Сумата на всеки вектор с нулевия вектор е равна на същия вектор: $\overrightarrow{a}+0=\overrightarrow{a}$.

Събирането на вектори е комутативно: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$ и асоциативно `(vec a + vec b) + vec c =` `vec a + (vec b + vec c)`, т.е. може да се извършва в произволен ред.

Ако двата вектора са зададени с координатите си: $\left(a_x,a_y,a_z\right)$ и $\left(b_x,b_y,b_z\right)$  координатите на сумата на векторите са: $\left(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z\right)$.

Умножение на вектор с число

Произведение на вектор $\overrightarrow{a}$ с число $k$, наричаме нов вектор, който означаваме с $k\overrightarrow{a}$. Посоката на произведението $k\overrightarrow{a}$ съвпада с посоката на $\overrightarrow{a}$, когато числото $k$ е положително и е противоположна, когато $k$ е отрицателно. Големината на произведението е равна на произведението от големината на вектора и модула на числото: $\left|k\overrightarrow{a}\right|=\left|k\right|\left|\overrightarrow{a}\right|$.

При умножаване на вектор с числото нула се получава нулев вектор: $0\overrightarrow{a}=0$, а при умножаване с 1 се получава същия вектор: $1\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$.

При умножение на вектор $\overrightarrow{a}$ с -1 се получава вектор, който означаваме с $-\overrightarrow{a}$. Този вектор е равен по големина на вектора $\overrightarrow{a}$ и има противоположна посока. Този вектор наричаме противоположен вектор на вектора $\overrightarrow{a}$. Сумата на даден вектор с неговия противоположен вектор е нулев вектор: $\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{a}\right)=0$.

Умножението на вектор с число е асоциативно: $k\left(l\overrightarrow{a}\right)=\left(\mathit{kl}\right)\overrightarrow{a}$, за всеки две числа $k$ и $l$ и всеки вектор $\overrightarrow{a}.$

Ако векторът $\overrightarrow{a}$ спрямо дадена координатна система има координати: $\left(a_x,a_y,a_z\right)$ координатите на произведението на вектора с число `k` са: $\left(k{a}_x,k{a}_y,k{a}_z\right)$.

Изваждане на вектори

Сумата на един вектор $\overrightarrow{a}$ с противоположния на друг вектор $\overrightarrow{b}$ наричаме разлика на два вектора. Разликата означаваме с: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ и имаме: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right)$.

Ако се построят представители на двата вектора с общо начало, то представител на разликата е насочената отсечка, която съединява върха на втория вектор с върха на първия.

Ако двата вектора са зададени с координатите си спрямо една координатна система, то разликата им има координати: $\left(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z\right)$.

Скаларно произведение на вектори

Скаларно произведение $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ на два ненулеви вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ наричаме число, равно на произведението от големините на векторите и косинуса на ъгъла между тях $\mathrm{\alpha }$:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|\mathit{cos}\mathrm{\alpha }$,

а ако някой от векторите е нулев, скаларното произведение по определение се приема за нула.

Скаларното произведение на вектори е дистрибутивно:

$\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$.

Ако векторите $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ са зададени с координатите си спрямо декартова координатна система $\left(a_x,a_y,a_z\right)$ и $\left(b_x,b_y,b_z\right)$, скаларното произведение се изразява по формулата:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$.

Векторно произведение на два вектора

Три вектора в пространството образуват дясна тройка ако при гледане в посока на третия вектор, за да се завърти първият вектор към посоката на втория, чрез въртене на ъгъл по-малък от `180^0`, същият трябва да се завърти по посока на часовниковата стрелка.

Известни начини за запомняне на това определение са "правилото на тирбушона": за да забиете тирбушон по посока на третия вектор, трябва да го завъртите в посока от първия към втория вектор; или "правилото на дясната ръка": за да имаме дясна тройта трябва да можем да сложим дясната си ръка така, че палеца да сочи посоката на първия вектор, изпънатите пръсти - посоката на втория вектор, а третият вектор - от дланта навън.

Векторно произведение на два вектора `vec{a}` и `vec{b}` е трети вектор, който е перпендикулярен на равнината, в която лежат векторите `vec{a}` и `vec{b}`, образува дясна тройка с тях и има големина `a b sin α`, където `a` и `b` са големините на векторите `vec{a}` и `vec{b}`, а `α` е ъгълът между тях.

Векторното произведение на векторите `vec{a}` и `vec{b}` ще означаваме със знака за векторно умнножение `times` така: `vec{a} times vec{b}`.

От определението е ясно, че ако векторите `vec{a}` и `vec{b}` са колинеарни, ъгълът между тях е нула, и от там и викторното им произведение е нула. Нулирането на векторното произведение се използва като критерии за колинеарност на вектори.

Големината на векторното произведение е равна на лицето на успоредника, образуван от умножаваните вектори.

Векторното произведение е антикомутативно:
`vec a times vec b` = `- (vec b times vec a)`.

Векторното произведение е асоциативно по отношение на действието умножение на вектор с число:
`(k vec a) times vec b =` `k (vec a times vec b) =` `vec a times (k vec b)`.

и дистрибутивно по отношение на събирането на вектори:
`vec a times (vec b + vec c) = ` `vec a times vec b + ` `vec a times vec c` или `(vec a + vec b) times vec c = ` `vec a times vec c + ` `vec b times vec c`.

Ако са извескни координатите на умножаваните вектори `vec{a}(a_x, a_y, a_z)` и `vec{b}(b_x, b_y, b_z)`, а координатите на векторното произведение означим с `vec{c}(c_x, c_y, c_z)`, то координатите на векторното произведение се получават по формулите: