Пространства и координатни системи - абстрактен подход

Страницата е създадена на:29 октомври 2025 и редактирана на:29 януари 2026

Нека имаме множество от точки, което ще наричаме пространство от точки. Нека е налично взаимно еднозначно съответствие между точките от това пространство и множество от наредени n-торки реални числа `(x_1, x_2, ... ,x_n)`. Числото n да наречем размерност на пространството, а всяко от числата от n-торките реални числа - обобщена координата на точка. Съответствието между точките от пространството и наредените n-торки реални числа ще наричаме координатна система в пространството. Точката с координати `(0, 0, ... ,0)`, да наречем начало на координатната система.

Нека точките от пространството да означаваме с главни букви `A, B, M, N` и т.н., а координатите с `x_i`, където индексите имат стойности `i = 1,2, ..., n`. Това че точка `A` има координати `x_i` означаваме: `A(x_1, x_2, ..., x_n)`.

Смяна на координатната система е възможна при наличие на `n` независими функции `T_i`, `i=1,2,...,n` на `n` променливи, с които при различни стойности на нови координати `y_1,y_2,...,y_n` се получават координатите на всички точки от пространството `x_i = T_i(y_1,y_2,...,y_n)`.

Независимостта на функциите `T_i` означава, че не съществува функция `F(T_1,T_2,...,T_n)=0`, за всички стойности на аргументите `y_1,y_2,...,y_n`. Да диференцираме по всяка от променливите, получаваме система уравнения: `sum_(i=1)^n (del F)/(del T_i) (del T_i) / (del y_j) = 0`, `j=1,2,...,n`. За да е изпълнено условието за независимост на функциите `T_i`, трябва детерминантата от техните частни производни (Якобианът им) `| (del T_i) / (del y_j) |`, `i,j=1,2,...,n` да е различен от нула.

Подмножество от точки в `n`-мерното пространство, чиито координати удовлетворяват уравнение `f(x_1,x_2, ..., x_n) = 0` образуват подпространство с размерност `n-1`, защото за всяка точка от това множество, ако са известни `n-1` от координатите, то `n`-тата координата е решение на това уравнение. Имаме взаимно еднозначно съответствие между точките от подмножеството и наредени `(n-1)`-торки реални числа.

Пример: Уравнение `x^2 + y^2 + z^2 = R^2` в триизмерно пространство определя двуизмерно подпространство. Уравнението има решения в реални числа за всяка от координатите в интервал `[-R,R]`. За всяко `x и y` от този интервал има две решения за `z`: `z = +- sqrt(R^2 - x^2 - y^2)`. Алтернативна координатна система за подпространството с 2 координати `theta и varphi`, може да получим ако извършим замяна: `x = R cos varphi cos theta`, `y = R cos varphi sin theta` и `z = R sin varphi`, където `theta` има стойности от интервала `[0, 2 pi)` а `varphi` в интервала `[-pi, pi]`. При замяната уравнението се превръща в тъждество, в което `theta и varphi` не участват.

Да обобщим посочения пример. Ако са дадени `n` на брой функции `f_i`, `i=1,2,...,n`, на `m < n` на брой променливи: `y_j`, `j=1,2,...,m`, уравненията: `x_i = f_i(y_1,y_2,...,y_m)`, `i=1,2,...,n`, `j=1,2,...,m` ще наричаме параметрични уравнения на `m`-мерно подпространство в `n`-мерно пространство. В частност едномерното подпространство с параметрични уравнения: `x_i = f_i(t)`, `i=1,2,...,n` ще наричаме крива линия, а двумерното подпространство `x_i = f_i(u,v)`, `i=1,2,...,n` - 2-мерна повърхност в `n`-мерното пространство.

Множество от точки с координати `x_i = delta_(i j) x`, където `delta_(i j)` е символът на Кронекер, а `x` - произволно реално число, наричаме `i`-та координатна крива. С други думи координатната крива е множество от точки, в което една от координатите на точките е произволно число, а останалите координати са нули. Очевидно координатните криви се пресичат в обща точка, началото на координатната система.

Разстояние между две точки `d(A,B)` е функция на точките със следните свойства: `d(A,B)>0` за всяко `A != B` и `d(A,B) = 0` само ако `A=B`, `d(A,B) = d(B,A)` за всяко `A` и `B`, `d(A,C)<=d(A,B) + d(B,C)` за всяка `A`, `B` и `C`. Съответно тези свойства се наричат аксиоми за неотрицателност, симетричност и неравенство на триъгълника.

След като в пространството от точки е дефинирано разстояние го наричаме метрично пространство, а разстоянието - метрика на пространството.

В определена координатна система разстоянието е непрекъсната функция на координатите на двете точки `d(x_(A1), x_(B1), x_(A2), x_(B2), ... , x_(An), x_(Bn))`. От непрекъснатостта на тази функция следва, че на малки изменения на координатите, съответстват малки разстояния между точките.

Предишна страница: Сферични координати

Следваща страница: Вектори