Тригонометрични функции

Страницата е създадена на:11 април 2025 и редактирана на: 1 август 2026

Тригонометрична функция

Геометрични определения

Ако имаме правоъгълен триъгълник с катети `a` и `b`, хипотенуза `c` и ъгъл `alpha` срещу катета `a`, формулите за тригонометричните функции на ъгъл `alpha` са:

`sin alpha = a/c` ;  `cos alpha = b/c` ;  `tan alpha = a/b` ;  `cot alpha = b/a`

Връзки между тригонометричните функции

Непосредствено от тези формули следват връзките:

`tan alpha = sin alpha / cos alpha` ;  `cot alpha = cos alpha / sin alpha` ;  `tan alpha = 1/ cot alpha` ;  `cot alpha = 1/ tan alpha`

Следствие от питагоровата теорема:

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1` ;  `sin alpha = sqrt(1 - cos^2 alpha)` ;  `cos alpha = sqrt(1 - sin^2 alpha)`

При сума на два ъгъла

От фигурата се вижда връзката:

`sin (alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos beta sin alpha`

Следствия:

`sin 2 alpha = 2 sin alpha cos alpha`

За `cos (alpha + beta)` връзката се получава от фигурата:

`cos (alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta`

Следствия:

`cos 2 alpha = cos^2 alpha - sin^2 alpha`

`sin 3 alpha = sin(alpha + 2 alpha)` `=` `sin alpha cos 2 alpha + cos alpha sin 2 alpha` `=` `sin alpha (cos^2 alpha - sin^2 alpha) + 2 cos^2 alpha sin alpha ` `=` `3 sin alpha cos^2 alpha - sin^3 alpha` `=` `3 sin alpha (1 - sin^2 alpha) - sin^3 alpha` `=` `3 sin alpha - 4 sin^3 alpha`

`cos 3 alpha` `=` `cos (alpha + 2 alpha)` `=` `cos alpha cos 2 alpha - sin alpha sin 2 alpha` `=` `cos alpha (cos^2 alpha - sin^2 alpha) - 2 sin alpha sin alpha cos alpha` `=` `cos^3 alpha - 3 sin^2 alpha cos alpha` `=` `4 cos^3 alpha - 3 cos alpha`

`sin 4 alpha =` `sin( 2 . 2 alpha )` `=` `2 sin(2 alpha) cos(2 alpha)` `=` `4 sin alpha cos alpha (cos^2 alpha - sin^2 alpha)` `=` `4 sin alpha cos^3 alpha - 4 sin^3 alpha cos alpha`

`cos 4 alpha` `=` `cos^2 (2 alpha) - sin^2 (2 alpha)` `=` `(cos^2 alpha - sin^2 alpha)^2 - 4 sin^2 alpha cos^2 alpha` `=` `(2cos^2 alpha -1)^2 - 4 cos^2 alpha + 4 cos^4 alpha` `=` `8 cos^4 alpha - 8 cos^2 alpha + 1` `=` `8 sin^4 alpha - 8 sin^2 alpha + 1`

`sin 5 alpha =` `sin(alpha + 4 alpha)` `=` `sin alpha cos 4 alpha + cos alpha sin 4 alpha` `=` `sin alpha ( 8 sin^4 alpha - 8 sin^2 alpha + 1) + cos alpha (4 sin alpha cos^3 alpha - 4 sin^3 alpha cos alpha)` `=` `8 sin^5 alpha - 8 sin^3 alpha + sin alpha + 4 sin alpha cos^4 alpha - 4 sin^3 alpha cos^2 alpha` `=` `8 sin^5 alpha - 8 sin^3 alpha + sin alpha + 4 sin alpha (1 - 2 sin^2 alpha + sin^4 alpha ) - 4 sin^3 alpha (1 - sin^2 alpha)` `=` `5 sin alpha - 20 sin^3 alpha + 16 sin^5 alpha`

Формула за `sin(alpha/2)` получаваме от формулата за `sin( 2 alpha)`:

`sin alpha = 2 sin(alpha/2) cos(alpha/2)` ;  `sin^2(alpha) = 4 sin^2(alpha/2) (1 - sin^2(alpha/2))` .  Полагаме: `sin^2(alpha/2) = x` ;  `sin^2 alpha = b` .  Получаваме квадратно уравнение `b = 4 x (1-x)` ;  `x^2 - x + b/4 = 0` .  Дискриминанта: `1-b = 1-sin^2 alpha = cos^2 alpha` реално решение: `x = (1 - cos alpha)/2` .  Откъдето:
`sin(alpha/2) = +-sqrt((1-cos alpha)/2)`.

Стойности за някои ъгли

`sin(pi) =` `sin(180^0) = 0` ;  `cos(pi) =` `cos(180^0) = -1`;  `tan pi = 0`

`sin(pi/2) =` `sin(90^0) = 1` ;  `cos(pi/2) =` `cos(90^0) = 0` ;  `tan (pi/2) = infty`

`sin(pi/3) =` `sin(60^0) = sqrt 3 / 2` ;  `cos(pi/3)=` `cos(60^0) = 1/2` ;  `tan(pi/3) = sqrt(3)`

`sin(pi/4) =` `sin(45^0) = 1 / sqrt 2` ;  `cos(pi/4) =` `cos(45^0) = 1/sqrt 2` ;  `tan(pi/4) = 1`

За намиране на `sin (pi/5)` във формулата `sin 5 alpha =` `5 sin alpha - 20 sin^3 alpha + 16 sin^5 alpha` полагаме `alpha = pi/5`. Тогава `5 alpha = pi` и като означим `sin(pi/5) = x`, получаваме уравнение: `16 x^5 - 20 x^3 + 5 x = 0`, а от него биквадратното уравнение: `16 x^4 - 20 x^2 + 5 = 0`. Дискриминанта: `400 - 4 16 5 = 80`. `x^2 = (20-sqrt(80))/32 =` `(5-sqrt(5))/8`

`sin(pi/5) =` `sin(36^0) = sqrt((5-sqrt(5))/8) =` `1/4 sqrt(10-2 sqrt 5)` ;  `cos(pi/5) =` `cos(36^0) =` `sqrt((3+sqrt 5)/8) =` `(1+sqrt 5)/4`

`sin(pi/6) =` `sin(30^0) = 1 / 2` ;  `cos(pi/6) =` `cos(30^0) = sqrt(3)/2`

 

Предишна страница: Математическо понятие за функция

Следваща страница: Хиперболични функции