Симетричност на тензора на напрежението

Страницата е създадена на:14 февруари 2018 и редактирана на:24 септември 2019

Като следствие от уравнение (155.2) за изменение на момента на импулса (154.1) на малка частица от непрекъсната среда се получава, че тензорът на напрежението е симетричен.

За да съставим уравнението за изменение на момента на импулса на малка честица, производната по времето на момента на импулса на частицата (155.1) приравняваме на сумата от моментите на действащите върху частицата повърхностни и обемни сили, които изразяваме съответно с повърхнинен и обемен интеграл:

`(d vec{L})/(dt) = vec{r} times Δm dot vec{v} = ` $\underset{\Delta \sigma }{\oint }$ `vec{r} times d vec{F^s} +` $\underset{\Delta V}{\int }$ `vec{r} times ρ vec{f} d V`

Разписано по координати последното уравнение има вида:

`Δm ( x_i dot v_j - x_j dot v_i ) = ` $\underset{\Delta \sigma }{\oint }$ `x_i P_(jk) d s_k -` $\underset{\Delta \sigma }{\oint }$ `x_j P_(ik) d s_k +` $\underset{\Delta V}{\int }$ `ρ (x_i f_j - x_j f_i) d V`

в който подразбираме сумиране по повтарящите се индекси.

Преобразуваме повърхнинните интеграли в обемни по теаремата на Гаус-Остроградски и извършваме интегрирането позовавайки се на това, че частицата е малка и подинтегралните функции може да се приемат за константи в рамките на нейния обем:

$\underset{\Delta \sigma }{\oint }$ `x_i P_(jk) d s_k =` $\underset{\Delta V}{\int }$ `(partial x_i P_(jk))/(partial x_k) d V = (P_(ji) + x_i (partial P_(jk))/(partial x_k)) ΔV`

След размествания получаваме:

`x_i (ρ dot v_j - (partial P_(jk))/(partial x_k) - ρ f_j ) ΔV - x_j (ρ dot v_i - (partial P_(ik))/(partial x_k) - ρ f_i ) ΔV = (P_(ij) - P_(ji)) ΔV`

където изразите в лявата страна, в скобите, са нула поради уравнението за движението на непрекъснатата среда (153.1) и това води до резултата, че:

`P_(ij) = P_(ji)`

тензорът на напреженията е симетричен.

В статиката симетричността на тензора на напрежението се получава от условието за равновесие на непрекъснатата среда, а уравненията изразяващи равенството на компонентите с различни индекси, записани например във вида:

`P_(xy) = P_(yx)`   `P_(yz) = P_(zy)`   `P_(xz) = P_(zx)`

се наричат теорема или закон за взаимност на тангенциалните напрежения.

Предишна страница: Уравнение на движение на непрекъсната среда

Следваща страница: Уравнение на изменение на кинетичната енергия