Механични връзки

Страницата е създадена на:10 септември 2019 и редактирана на:26 юни 2022

В практиката възникват задачи от областта на механиката, в които не са известни явно всички сили, които действат на материална точка или система от материални точки. Вместо силите, които действат и водят до определен начин на движение, може да са известни ограничения, които се налагат върху движението. Примери: ограничение изискващо материалната точка да следва определена траектория, условие материалната точка да не превишава определено разстояние от зададена точка и др. подобни. Тези ограничения се пораждат от тела. Например, ограничение да се следва определена траектория имаме, ако топче се търкала по улей със зададена форма, но независимо от физическия произход на ограничението, такова ограничение може да се опише математически с уравнение или неравенство, с обща форма:

`f_1(vec r, vec v, t) = 0`

`f_2(vec r, vec v, t) >= 0`

Подобни уравнения или неравенства се наричат връзки. В уравненията или неравенствата на връзките участват координатите, скоростта и времето.

Връзка, изразявана с неравенство се нарича едностранна или неудържаща връзка. Връзка описвана с уравнение е двустранна или удържаща връзка.

Връзка, в която участва явно времето се нарича нестационарна или реономна, а когато времето не участва - стационарна или склерономна.

Когато във връзка участва скоростта, връзката се нарича диференциална, а ако не участва скоростта - крайна или геометрична. Някои от диференциалните връзки могат да бъдат решени (интегрирани) като диференциални уравнения и да се превърнат в геометрични връзки. Такива връзки се наричат интегрируеми.

Интегрируемите диференциални и крайните връзки се наричат холономни връзки.

Система от материални точки, върху движението на които не са наложени връзки се нарича свободна механична система, а когато е налична поне една връзка имаме несвободна механична система.

Положението в даден момент време на всичките `n` материални точки от една свободна система се задава с общо `3n` на брой координати. Броят на величините, необходими за задаване на положението в пространството на една механична система се нарича брой на степените на свобода на тази система. В случай на свободна механична система от `n` точки, имаме `N=3n` степени на свобода.

Освен чрез декартовите координати положението в пространството може да се задава и с други величини: разстояния, ъгли, площи и др. Такива величини могат да заменят ролата на декартовите координати и се наричат обобщени координати. Преминаването от декартови към обобщени координати се извършва чрез заместване в уравненията на движение и в уравненията на връзките на декартовите координати по формули, с които декартовите координати се изразяват с други величини. Естествено, броят на обобщените, координати при тази замяна съвпада с броя на декартовите координати и това не се отразява на броя на степените на свобода `N` на системата. Преминаването към уравнения в обобщени координати цели да се получат по-прости и лесни за решаване уравнения.

Нека да означим с `q_i`, `i = 1,2,...,N` обобщените координати на една механична система. Ако върху тази механична система е наложена двустранна геометрична връзка, която може да се запише с уравнение с общ вид: `f(q_1,q_2,...,q_N)=0`, то от това уравнение може да се изрази едната от обобщените координати като функция на останалите обобщени координати, например: `q_N = q(q_1, q_2, ..., q_(N-1))` и с полученият израз да се замести в уравненията на движение. Така броят на участващите в уравненията на движение неизвестни величини се намалява с единица. Поради това се казва, че връзките водят до намаляване на степените на свобода.

Двустранна геометрична връзка, наложена върху движението на една материална точка в декартови координати се задава с уравнение:

`f(x,y,z) = 0`

От аналитичната геометрия знаем, че такова уравнение е уравнение на повърхнина, което означава, че материалната точка трябва да се движи по тази повърхнина, без да я напуска.

Да диференцираме по времето уравнението на връзката:

`d/(dt)f(x,y,z) =` `(del f)/(del x) (dx)/(dt) + ` `(del f)/(del y) (dy)/(dt) + ` `(del f)/(del z) (dz)/(dt) =` `grad f . vec v = 0`

Векторът `grad f` има посока на нормалата към повърхнината на връзката, а нулирането на скаларното произведение `grad f . vec v` означава, че скоростта на материалната точка във всеки момент е перпендикулярна на нормалата и е допирателна на повърхнината.

Да запишем полученото уравнение и в по-кратка форма:

`(del f)/(del x_i) dot x_i = 0`

и да го диференцираме отново по времето:

`(d)/(dt)[(del f)/(del x_i) dot x_i] = ` `(del^2 f)/(del x_j del x_i) dot x_j dotx_i + ` `(del f)/(del x_i) ddot x_i = 0`

Сега да се върнем към векторно означение:

`grad f . ddot vec r + A = 0`

където с `A` е означена цялата останала част от сумата.

Получихме условие, което трябва да се удовлетворява от ускорението на материалната точка `vec a = ddot vec r`, за да се движи тя според наложеното от връзката ограничение. Ускорението на материалната точка се създава от една страна от действието на разглеждани в задачата тела, което ще означим като сила `vec F`, и от друга - от действието на телата, чрез които се предизвиква разглежданата връзка, което ще означим като сила `vec R`. Силата `vec R` наричаме реакция на връзката. Уравнението на движение на несвободна материална точка има вида:

`m vec a = vec F + vec R`

Ако заместим ускорението от това уравнение в уравнението на връзката, получаваме:

`grad f . vec F + grad f . vec R + m A = 0`

- условие, което налага скаларното произведение от нормалния към повърхнината на връзката вектор `grad f` и реакцията на връзката `vec R` да има определена стойност:

`grad f . vec R = - grad f . vec F - m A`

Ако представим вектора `vec R` като сума от нормален `vec R_n` и тангенциален `vec R_tau` на повърхнината на връзката вектори, ще имаме:

`grad f . (vec R_n + vec R_tau) = grad f . vec R_n = ` `|grad f| R_n = ` `- grad f . vec F - m A`

поради това, че нормалният вектор е колинеарен на нормалата `grad f . vec R_n = |grad f| R_n` и поради това, че тангенциалният вектор е перпендикулярен на нормалата към повърхнината `grad f . vec R_tau = 0`. Така виждаме, че може да се определи големината само на нормалната компонента:

`R_n = (- grad f . vec F - m A)/(|grad f|)`

а тангенциалната компонента остава напълно неизвестна. За да бъде решима задачата за определяне на движението на несвободна материална точка трябва тангенциалната компонента на реакцията на връзката да е дадена в условието на задачата. Ако по условие тангенциалната компонента на реакцията на връзката е нула, връзката се нарича идеална връзка. А неидеална връзка имаме, например, ако движението на материалната точка по повърхнината на връзката е придружено с триене. Силата на триене е колинеарна на скоростта и е тангенциална на повърхнината на връзката.

При разглеждане на системи от материални точки в приложенията на механиката се прави разлика между вътрешни връзки - връзки, засягащи взаимното положение и скорости на материалните точки от системата една спрямо друга и външни връзки, засягащи положението и скоростта на материалните точки от системата и външни за системата тела. Външни за дадена система тела, с които има дефинирани геометрични външни връзки се наричат опори.

 

Предишна страница: Момент на импулса

Следваща страница: Неинерциални отправни системи