Интензитет на електричното поле на дипол

Страницата е създадена на:19 октомври 2018 и редактирана на:24 юли 2019

След като разполагаме с формула за потенциала на електричното поле на дипол, интензитетът на електричното поле може да намерим използвайки, връзката между интензитет и потенциал на електричното поле.

Нека интензитетът на електричното поле, създавано от дипола в дадена точка от пространството да представим като сума от два вектора:

$\overrightarrow{E}={\overrightarrow{E}}_r+{\overrightarrow{E}}_a$,

където ${\overrightarrow{E}}_r$ е вектор с радиално направление, т.е. по правата, съединяваща дадената точка с центъра на дипола, а ${\overrightarrow{E}}_{\alpha }$ е вектор с направление перпендикулярно на радиалното. Индексът $r$ означава, че направлението на вектора е свързано с изменение на разстоянието до дипола $r$, а индексът $\mathrm{\alpha }$ - че направлението на вектора е свързано с изменение на ъгъла $\mathrm{\alpha }$ между диполния момент и посоката от центъра на дипола към разглежданата точка.

Разстоянието между две близко разположени в радиално направление точки, очевидно е равно на изменението $\mathrm{\Delta }r$ на разстоянието $r$. Разстоянието между две близко разположени в перпендикулярно на радиалното направление точки е: $r\mathrm{\Delta }\mathrm{\alpha }$, където $r$ е разстоянието от тези точки до центъра на дипола, а $\mathrm{\Delta }\mathrm{\alpha }$ е ъгъла, под който се вижда разстоянието между точките от центъра на дипола. Изразявайки връзката между големините на векторите ${\overrightarrow{E}}_r$ и ${\overrightarrow{E}}_{\mathrm{\alpha }}$ и изменението $\mathrm{\Delta }\mathrm{\varphi }$ на потенциала в близко разположени по направление на тези вектори точки получаваме:

$E_r=-\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\varphi }}{\mathrm{\Delta }r}$      и      $E_{\mathrm{\alpha }}=-\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\varphi }}{r\mathrm{\Delta }\mathrm{\alpha }}$.

Тези формули са приблизителни. Точните стойности на $E_r$ и $E_{\mathrm{\alpha }}$ са границите на написаните отношения при $\mathrm{\Delta }r\to 0$ и $\mathrm{\Delta }\mathrm{\alpha }\to 0$, които граници представляват частни производни на потенциала:

$E_r=-\frac{\partial \mathrm{\varphi }}{\partial r}$      и      $E_{\mathrm{\alpha }}=-\frac{1}{r}\frac{\partial \mathrm{\varphi }}{\partial \mathrm{\alpha }}$.

Като заместим потенциала на дипола по формулата от предишния въпрос намираме:

$E_r=-\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{p}{4\mathrm{\pi }{\mathrm{ϵ}}_0\mathrm{ϵ}}\frac{\mathit{cos}\mathrm{\alpha }}{r^2}\right)=-\frac{p\mathit{cos}\mathrm{\alpha }}{4\mathrm{\pi }{\mathrm{ϵ}}_0\mathrm{ϵ}}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^{-2}\right)=\frac{2p\mathit{cos}\mathrm{\alpha }}{4\mathrm{\pi }{\mathrm{ϵ}}_0\mathrm{ϵ}{r}^3}$  и:

$E_{\mathrm{\alpha }}=-\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \mathrm{\alpha }}\left(\frac{p\mathit{cos}\mathrm{\alpha }}{4\mathrm{\pi }{\mathrm{ϵ}}_0\mathrm{ϵ}{r}^2}\right)=\frac{p}{4\mathrm{\pi }{\mathrm{ϵ}}_0\mathrm{ϵ}{r}^3}\frac{\partial \mathit{cos}\mathrm{\alpha }}{\partial \mathrm{\alpha }}=\frac{p\mathit{sin}\mathrm{\alpha }}{4\mathrm{\pi }{\mathrm{ϵ}}_0\mathrm{ϵ}{r}^3}$.

Или:

$E_r=\frac{2p\mathit{cos}\mathrm{\alpha }}{4\mathrm{\pi }{\mathrm{ϵ}}_0\mathrm{ϵ}{r}^3}$      и      $E_{\mathrm{\alpha }}=\frac{p\mathit{sin}\mathrm{\alpha }}{4\mathrm{\pi }{\mathrm{ϵ}}_0\mathrm{ϵ}{r}^3}$.

От тези формули виждаме, че в точките, разположени по оста на дипола, за които $\mathrm{\alpha }=0$:

$E_r=\frac{2p}{4\mathrm{\pi }{\mathrm{ϵ}}_0\mathrm{ϵ}{r}^3}$      и      $E_{\mathrm{\alpha }}=0$,

а в точките, разположени върху симетралата на дипола, за които $\mathrm{\alpha }=\mathrm{\pi }/2$:

$E_r=0$      и      $E_{\mathrm{\alpha }}=\frac{p}{4\mathrm{\pi }{\mathrm{ϵ}}_0\mathrm{ϵ}{r}^3}$.

И в двата случая векторът на интензитета на електричното поле има посока съвпадаща с посоката на дипола, но върху оста на дипола интензитетът на електричното поле има два пъти по-голяма стойност, отколкото в точките от симетралата, намиращи се на същото разстояние. В точките за които: $\mathrm{\alpha }=\mathrm{\pi }$ и $\mathrm{\alpha }=3\mathrm{\pi }/2$, стойностите на интензитета на електричното поле са с противоположен знак, т.е. посоката на вектора на интензитета е обратна на посоката на диполния момент.

Големината на интензитета на електричното поле в произволна точка е:

$E=\sqrt{E_r^2+E_{\mathrm{\alpha }}^2}=\sqrt{{\left(\frac{2p\mathit{cos}\mathrm{\alpha }}{4\mathrm{\pi }{\mathrm{ϵ}}_0\mathrm{ϵ}{r}^3}\right)}^2+{\left(\frac{p\mathit{sin}\mathrm{\alpha }}{4\mathrm{\pi }{\mathrm{ϵ}}_0\mathrm{ϵ}{r}^3}\right)}^2}=\frac{p}{4\mathrm{\pi }{\mathrm{ϵ}}_0\mathrm{ϵ}{r}^3}\sqrt{1+3{\mathit{cos}}^2\mathrm{\alpha }}$.

Нека да обърнем внимание още, че големината на интензитета на електричното поле на дипол зависи обратно пропорционално на третата степен на разстоянието от дипола, т.е. намалява по-бързо с разстоянието, в сравнение с интензитета на полето, създавано от точков заряд, който е обратно пропорционален на втората степен на разстоянието.

 

Предишна страница: Потенциал на електричното поле на дипол

Следваща страница: Електродинамика