Връзка между кинетична енергия и работа на постоянна сила

Страницата е създадена на:29 октомври 2016 и редактирана на:11 юни 2020

Да разгледаме движението на материална точка с маса $m$ под действие на постоянна сила $\vec{F}$ , извършено за кратък интервал време $Δ t$ .

От втория принцип на динамиката следва:

(82.1)

\vec{F} = m \vec{a}

Понеже разглеждаме случай, в който силата е постоянна, следва, че и ускорението е постоянно, и равно на средното ускорение. Затова можем да напишем, че:

(82.2)

\vec{a} = \frac{Δ \vec{v}}{Δ t}

Да умножим скаларно двете страни на уравнение (82.1) с вектора на преместването $Δ \vec{r}$ , което материалната точка извършва за малкия интервал време $Δ t$ :

(82.3)

\vec{F} . Δ \vec{r} = m \vec{a .} Δ \vec{r}

Лявата страна на полученото уравнение представлява елементарната работа $Δ A$ , а дясната страна преобразуваме, като използваме (82.2):

$m \vec{a} . Δ \vec{r} = m \frac{Δ \vec{v}}{Δ t} . Δ \vec{r} = m Δ \vec{v} . \frac{Δ \vec{r}}{Δ t}$ .

Продължаваме преобразуването като използваме, че: $Δ \vec{v} = {\vec{v}}_{2} - {\vec{v}}_{1}$ , а $\frac{Δ \vec{r}}{Δ t}$ е средната скорост за интервала $Δ t$ . Поради това че ускорението е постоянно средната скорост е равна на средно аритметичната стойност от началната и крайната скорост, следователно: $\frac{Δ \vec{r}}{Δ t} = \frac{{\vec{v}}_{2} + {\vec{v}}_{1}}{2}$ и получаваме:

$m Δ \vec{v} . \frac{Δ \vec{r}}{Δ t} = m {(\vec{v}}_{2} - {\vec{v}}_{1}) . \frac{({\vec{v}}_{2} + {\vec{v}}_{1})}{2} = m \frac{(v_{2}^{2} - v_{1}^{2})}{2} = \frac{m v_{2}^{2}}{2} - \frac{m v_{1}^{2}}{2}$

Така получаваме, че работата на постоянната сила $\vec{F}$ е:

(82.4)

Δ A = \frac{m v_{2}^{2}}{2} - \frac{m v_{1}^{2}}{2} = E_{k2} - E_{k1} = Δ E_{k}

където $E_{k 1} = \frac{m v_{1}^{2}}{2}$ и $E_{k 2} = \frac{m v_{2}^{2}}{2}$ представляват стойностите на кинетичната енергия на тялото, съответно, в началото и в края на разглеждания интервал време.

Така виждаме, че изменението на кинетичната енергия $Δ E_{k}$ е равно на работата $Δ A$ на силата, действаща върху тялото.

$Δ A = Δ E_{k}$ .

Изводът на тази връзка извършихме за случай на постоянна сила, но изследванията показват, че същата връзка се доказва и за произволна сила и произволен интервал време, както и за сумата от всички сили, действащи на тялото. Следователно:

Изменението на кинетичната енергия на едно тяло е равно на работата на всички сили, действащи върху него.

Предишна страница: Кинетична енергия

Следваща страница: Потенциална енергия

Връзка между кинетична енергия и работа на постоянна сила

Мнения за тази страница