Работата като интеграл

Страницата е създадена на:29 октомври 2016 и редактирана на:27 април 2018

В предишната страница беше показана формула (78.1), в която работата, извършвана от непостоянна сила, действаща на материална точка при произволно движение, е сума от елементарните работи в отделните части от пътя. Тази формула е приблизителна и зависи от начина на разделяне на целия път на малки участъци.

Да означим с $s$ пътя, изминат от материалната точка от момент време $t=0$ до момент $t$. Проекцията на силата върху допирателната към траекторията $F_s$ представлява функция на пътя $F_s(s)$. Може да се изобрази графиката на тази функция. Елементарните работи в малките части от пътя съответстват на лицата на тесни правоъгълници с основи $\mathrm{\Delta }{s}_1$, $\mathrm{\Delta }{s}_2$, $\mathrm{\Delta }{s}_3$, ... $\mathrm{\Delta }{s}_{\mathrm{n}}$ и височини $F_{s1}$, $F_{s2}$, $F_{s3}$, ... $F_{s\mathrm{n}}$. Механичната работата, пресматната по формула (78.1) съответства на сумата от лицата на тесните правоъгълници и е грубо приближение на лицето на криволинейния трапец оформен от графиката на функцията `F_s(s)`. От математиката е известно, че лицето на криволинеен трапец се пресмята с определен интеграл, така че точна формула за работата е:

$A=\underset{s_1}{\overset{s_2}{\int }}{F}_s(s)\mathit{ds}$

Ако проекцията на силата върху допирателната към траекторията е постоянна величина, решението на този интеграл е:

$A=F_s(s_2-s_1)$,

където $s_1$ е пътя изминат от началния момент $t=0$ до момент $t_1$, а $s_2$ - пътя изминат до момент $t_2$.

Ако е трудно да се изрази като математическа функция проекцията на силата върху допирателната към траекторията `F_s(s)`, както изисква горната формула, то работата може да се изрази със скаларното произведение на силата и преместването или със скаларното произведение от силата и скоростта, и интервала време:

`A = int_(t_1)^(t_2) vec F . d vec r = int_(t_1)^(t_2) vec F . vec v d t`

Предишна страница: Механична работа

Следваща страница: Мощност